三角函数计算问题

三角函数。

三角知识虽然起源于古代，但最早是欧拉(1707-1783)在《无穷小分析导论》一书中给出的。在欧拉之前，三角函数的研究大多是在一定半径的圆内进行的。比如古希腊的托勒密把半径定为60；印度阿雅巴塔(约476-550)半径3438；德国数学家乔万纳斯(1436-1476)为了精确计算三角函数的值，曾经设定半径为60万。后来为了做更精确的正弦表，半径设为107。所以当时的三角函数其实就是圆内某些线段的长度。

意大利数学家莱蒂克斯(1514-1574)改变了以往的做法，即过去一般称AB为正弦，正弦与圆是牢固相连的，但莱蒂克斯称之为∠AOB正弦，使正弦值与角度直接挂钩，圆O成为从属。

直到欧拉把圆的半径定为1，也就是把角放在单位圆内，才把三角函数定义为相应线段与圆的半径之比。

正弦和余弦

正弦定理是由伊朗著名天文学家阿勃雷韦法(940-998)首先发现并证明的。中亚的阿尔伯塔·鲁尼(973-1048+05)给出了三角形正弦定理的一个证明。

也有人说正弦定理的证明是13世纪希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为一门独立的学科来讨论，第一次明确地论证了正弦定理。他还指出，从一个球面三角形的三个角可以得出三条边，或者从三条边可以得出三个角。这是区别球面三角形和平面三角形的重要标志。至此，三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。

克罗狄斯·托勒密的“天文名著”第一卷不仅包括一些主要的天文数据，还包括上面提到的弦表。它给出了从(1/2)到180的所有圆心角所对着的弦的长度。圆的半径分成60等份，弦长相等。

比如crd 36 = 37p4'55”，意思是圆心角为36°的弦等于半径(或者37个小部分)，加上一小部分，加上一小部分。从下图可以看出，和弦表相当于正弦函数表。

公元6世纪初，印度数学家阿雅巴塔(aryabhata)在第一象限做了一个间隔为3° 45 '的正弦表。按照巴比伦人和希腊人的习惯，圆周分为360度，每度为60分钟，整个圆周为265，438+0，600份。那么根据2πR = 21，600，R = 3,438。其中，用同一个单位测量半径和周长，诞生了最早的弧度制概念。在计算正弦值时，他取圆心角对面圆弧的半弦长，比希腊人取全弦长更接近现代正弦的概念。印度人还使用了正弦向量和余弦，并给出了三角函数的一些近似分数。

2.切线和余切

著名的叙利亚天文学家和数学家阿尔-巴塔尼(850-929)在920年左右做了一个从0到90的区间为1的[余切]表。

公元727年，唐玄宗指示僧人及其随行人员编撰《大航海历》。一行为了求出全国任何地方一年的节气长度，用八尺竿编制了太阳天顶距与日影长度的对应表，太阳天顶距与日影长度的关系为正切函数。巴塔尼编制了余切函数表，而太阳的高度是正切函数。

14世纪中叶，原本是成吉思汗后裔的中亚阿鲁布(1393-1449)组织了大规模的天文观测和数学表的计算。他的正弦表精确到小数点后9位。他还在30和45之间制造了65440的距离。

在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁(1290？-1349-首先，切线和余切被引入到他的三角计算中。

3.正割和余切

﹝secant﹞和﹝cosecant﹞的概念是由阿勃雷-韦法首先提出的。sec的缩写是1626，荷兰数字Kirader+0595-1630。

在欧洲的“文艺复兴”时期(14世纪-16世纪)，伟大的天文学家哥白尼(1473-1543)提倡地动学说，他的学生利特克斯看到当时的天文观测越来越精确，每隔10”制作正弦、正切、割线表。那时候还没有对数，更不用说计算器了。任务很重。Littix和他的助手们用毅力努力了12年。不幸的是，他直到1596才完成这项工作。是他的学生奥托(1550-1605)完成并出版的，在海德堡那一年，在世界范围内，161515665438+出版。

在现代，一般用泰勒级数展开。根据你需要精确到小数点后多少位，展开的项目越多，你就越精确。

arcsin x=∑(n=~∞)[(n)！x^(n+)/[^n*(n！*(n+)]

arctan x=∑(n=~∞)[(-)^n]x^(n+)/(n+)