九福阴影算法正切函数表的建立

历法中给出了阳城各种气体的太阳去极化，所以知道了各种气体的太阳天顶距差，这个差等于任何地方。这样，对于任何地方，只要知道一个节气(如夏季至日)的太阳天顶距，就可以通过加减这个差值计算出其他气体的太阳天顶距。剩下两个问题需要解决:一是如何求某个夏季至日(或冬季至日)的太阳天顶距；其次，已知天顶距如何转换阴影长度。这两个问题可以通过建立太阳的影子长度和天顶距对应的表格来解决。

如果列出一个以天顶距为自变量，阴影长度每隔一度的数值表，就可以解决上述两个问题:首先测量被测地点夏季至日的阴影长度(在一条线牵出的大地测量中，到处都进行这种测量)，从阴影长度查表中得到太阳天顶距，然后如上所述加减一个差值ai，得到该地点各气体的天顶距，再重新查表。达李岩《步漏术》中的一句台词，建立了这样一张0度到80度的每度阴影长度与太阳天顶距的对应表，这是世界上数学史上最早的正切函数表。在国外，920年左右，阿拉伯学者阿尔·白塔尼(约858-929)根据影子长度与太阳仰角的关系，每隔0-90度编制了12尺杆的影子长度表，实际上就是12ctga的表。另一位阿拉伯学者阿布勒-瓦哈(940-998)在980左右编了一张正切余切函数表，每隔15度和10度给出一个值。他还首次引入了割线和余切函数。一条线被编译成切线和余切函数表的方法几乎和Al Batani一样。一条线用的是太阳天顶距，阿尔·巴塔尼用的是太阳的仰角，两者互为余角，所以他们的发现是一样的。一条线的正切函数表比比亚尔·巴塔尼早近200年，比比亚尔·韦弗早250年。虽然一行的正切函数表只是从0度到80度，误差也相应较大，但毕竟是世界上最早的正切函数表。